I teoremi di Gödel e l'intelligenza artificiale

Che cosa è un sistema assiomatico? La figura e l’opera di Kurt Gödel hanno subito una singolare fortuna, comune del resto al lavoro di molti grandi pensatori i cui risultati travalicano i confini di una singola disciplina e si diffondono all’interno del patrimonio culturale collettivo. Come è accaduto ad esempio con la relatività einsteniana, ed anzi in stretta connessione con questa, anche i contributi di Gödel sono stati avvolti da una confusa aura mitologica che ne ha spesso autorizzato semplificazioni, parafrasi e forzature che ne tradiscono il senso profondo. Del resto, anche molti matematici, attivi in aree diverse dalla logica formale, hanno una conoscenza piuttosto approssimata dei risultati di Gödel, e l’idea che in genere se ne ha è che essi fissano dei "limiti" alle capacità razionali della mente umana (versione popolare), o più concretamente alle impostazioni assiomatiche nella formalizzazione delle teorie(versione del matematico "medio"). Entrambe le versioni possono essere considerate "divulgative", e mostrano una percezione piuttosto limitata della magistrale lezione di Kurt Gödel, e soprattutto del modo che questi aveva di intendere il suo lavoro. Come l’amico Einstein, Gödel fu sempre attivamente interessato alle potenzialità filosofiche di un’idea, ma in un senso assai rigoroso, che poco ha in comune sia con le affermazioni generiche o gli aforismi, che con una visione eccessivamente "specialistica" dei risultati. Una prova della vitalità dei famosi teoremi di indecidibilità del grande pensatore la si trova ad esempio sul recente ed ancora non concluso dibattito sulle possibilità ed i limiti delle teorie sull’intelligenza artificiale, e nella ricerca appena iniziata di una teoria generale dei sistemi complessi logicamente aperti, in relazione alla loro capacità di produrre informazione sintattica e semantica. Per comprendere il ruolo svolto dal lavoro di Gödel all’interno di questi nuovi sviluppi è necessario considerare brevemente i problemi fondazionali della matematica all’inizio del novecento. Il grande matematico David Hilbert(1862-1943) aveva suggerito la possibilità di configurare l’intera conoscenza matematica attraverso l’uso del metodo assiomatico, ossia utilizzando un numero finito di proposizioni di partenza in grado di definire astrattamente gli enti della teoria, gli assiomi A, ed un insieme di regole di inferenza R. Sia A che R sono espressi in un linguaggio sintatticamente preciso ed a-semantico, un’insieme di simboli e di operatori per la manipolazione di questi. Utilizzando le regole R è possibile generare i teoremi T della teoria da A.

Un sistema di questo tipo si dice sistema formale , e deve possedere una serie di requisiti generali:

• 1)Coerenza o non-contraddittorietà: un sistema formale non può produrre assieme una proposizione P e la sua contraddizione non-P; 2)Completezza sintattica: un sistema formale si dice completo quando, data una qualsiasi proposizione P formata secondo L , è possibile dimostrare che può essere ricavata da A utilizzando le regole R; 3)Decidibilità: un sistema è decidibile se data una proposizione P è possibile dimostrare in un numero finito di passi se la proposizione appartiene al sistema oppure no utilizzando R; 4)Assiomatizzabilità: un sistema è assiomatizzabile se è possibile mostrare che un sistema * che produce gli stessi teoremi T di , è decidibile. In altre parole, si richiede di poter fare il percorso inverso della decidibilità, individuando univocamente il gruppo A degli assiomi che generano i teoremi T; 5)Ricchezza: un sistema formale si dice sintatticamente ricco se è possibile associare ad ogni proposizione generale P relativa alle proprietà di una certa classe di oggetti, una proposizione particolare P1 che riguarda un membro particolare della classe che esibisce effettivamente quelle proprietà. Ci si aspetta che un sistema formale possa esplorare in modo esauriente ogni oggetto costruibile tramite .