Alcuni esempi per provare a spiegare la relatività generale

Einstein impiegò dieci anni per elaborare la più elegante e completa teoria della gravitazione ad oggi ideata, ed ebbe la fortuna di vivere abbastanza a lungo da vederla provata dalle misure di Lord Eddington. All'epoca, se «erano tre le persone che avevano compreso la relatività generale», Eddington faticava a capire chi potesse essere il terzo, oltre a lui e all'amico Albert. Da allora è passato meno di un secolo.

Fig. 1 - Ecco cosa si vedrebbe se si fosse assieme al primo scienziato, nella camera isolata dal mondo esterno, con una pallina appesa al soffitto come unico riferimento.

Chiunque abbia delle buone basi di fisica classica e analisi matematica, può comprendere bene, nel dettaglio, l'intera teoria, nel giro di un paio d’anni. Per tutti gli altri si presentano di seguito i principi alla base della teoria einsteiniana. Non serve la matematica: basta solo un po' di immaginazione. Si supponga che uno scienziato stia in piedi in una grande camera completamente vuota (Fig.1); vi è solo una finestra, la cui serranda è, per ora, abbassata, impedendo ogni contatto con l'esterno. L'unico elemento della stanza è una palla da tennis appesa al soffitto tramite una corda. L’osservatore non avrà troppe difficoltà a descrivere il sistema: la palla cadrebbe sul pavimento, se non fosse per la tensione della corda, la quale quindi restituisce una misura della forza di gravità.

Si supponga ora di alzare la serranda: si scopre che quella non è una camera, ma un grande container, non localizzato sulla Terra, ma che fluttua nello spazio, trascinato "verso l'alto" da un'astronave. Un secondo scienziato osserva, da una seconda navetta in moto a velocità costante, la stessa palla da tennis che pende dal soffitto; secondo lui, la palla, la corda, l'intero container non sono sottoposti ad alcuna forza di gravità! La corda è tesa semplicemente perché viene trascinata dall'astronave (Fig.2).

Fig.2 - Lo stesso sistema dal punto di vista del secondo scienziato, in moto a velocità costante, il quale osserva che non vi è alcuna forza di gravità, ma il container è semplicemente trascinato verso l'alto da una navetta spaziale.

Due descrizioni completamente differenti dello stesso identico fenomeno (una palla da tennis appesa al soffitto). Entrambe le descrizioni sono basate sulla meccanica classica; entrambe sono esatte ed equivalenti, almeno finché l'accelerazione della nave resta costante: se lo scienziato nella camera e quello nella navetta effettuassero delle misure su un qualsiasi esperimento condotto nel container, arriverebbero agli stessi risultati.

Con questo Gedankenexperiment (“esperimento mentale” in tedesco), Einstein spiega i due principi cardine della relatività generale:

1. la "fisica" di un sistema non può dipendere dal sistema di riferimento dell'osservatore; di conseguenza, le equazioni che regolano il moto dei corpi potranno sempre essere scritte in modo "covariante", ovvero, in modo tale che mantengano lo stesso aspetto sia che vengano scritte dal primo osservatore sia dal secondo.

2. Un qualsiasi sistema sottoposto a gravità costante potrà sempre essere riletto come un sistema in assenza di campo gravitazionale, ma in moto uniformemente accelerato. Tutto ciò è conseguenza della uguaglianza tra la massa inerziale e quella gravitazionale: la massa che, secondo il primo osservatore, avrebbe determinato l'attrazione della pallina verso la terra (ossia, il pavimento), è la stessa massa che, per inerzia, reagisce al trascinamento del soffitto dovuto all'accelerazione costante dell'astronave.

Questa uguaglianza dona alla forza di gravità un carattere universale: non c'è modo di "schermarla", come si può invece fare con un campo elettrico; agisce su ogni corpo, a una qualunque distanza, perché ogni corpo ha una massa.

Il lettore attento, allora, si chiederà perché sia tanto importante che l'accelerazione a cui è sottoposto il container debba essere costante. Se così non fosse, il primo scienziato capirebbe benissimo di essere in un sistema di riferimento accelerato, perché si sentirebbe spinto verso l'alto, come quando la metro frena bruscamente, portandoci a cadere in avanti.

Dobbiamo quindi cestinare le precedenti asserzioni?

Non necessariamente. Infatti, Einstein non manca di sottolineare che, considerando istanti di tempo sufficientemente piccoli, una qualsiasi accelerazione, per quanto in generale variabile nel tempo, è costante in questi piccoli intervalli.

Ma, allora, dal punto 2), si deduce che questo concetto si può estendere, per analogia, anche a un campo gravitazionale: per quanto questo possa essere non uniforme e variabile nel tempo, è sempre possibile considerare un intervallo di spazio e di tempo sufficientemente piccolo da poter essere considerato costante. In questa regione si ricavano le equazioni del moto, le si scrivono in modo covariante, e solo dopo si torna al caso generale, a una qualsiasi scala, sicuri che, avendo scritto "bene" le equazioni del moto, queste saranno valide indipendentemente dal punto di vista da cui si osserva il fenomeno.

Lo stesso Einstein gioca molto su un’analogia con la geometria: nonostante la Terra sia quasi sferica e quindi "curva", anche per centinaia di chilometri le distanze si calcolano come se fosse piatta, applicando, per esempio, il teorema di Pitagora. Questo perché, ogni superficie, per quante curve possa avere, purché non sia bucata (si escludono, per esempio, le ciambelle), può sempre essere trattata come se fosse piatta, se si considera solo una piccola regione dello spazio. E in effetti, il campo gravitazionale curva e deforma lo spazio-tempo (Fig.3) in misura tanto più violenta quanto grande è la massa che lo crea. Se stendiamo un telo e vi lasciamo scorrere delle biglie, queste andranno diritte; ma se si esegue lo stesso lancio dopo aver posato delle pietre sul telo, ecco che le biglie tenderanno a curvare in prossimità dei sassi.

Fig.3 - Rappresentazione della distorsione dello spazio-tempo in prossimità di una massa collocata al centro. È evidente come le relative distanze e i relativi intervalli di tempo, indicati dai lati della quadrettatura, aumentano in prossimità di questa, perché la sua gravità è sempre più forte. Credits: Di BenRG [Public domain], via Wikimedia Commons.

Noi, le particelle, i corpi, perfino la luce, siamo come le biglie e lo spazio-tempo non è una tovaglia piatta, ma è allungato o compresso a seconda di come la masse sono distribuite su di esso. Eddington, infatti, durante l'eclisse del 1919, misurò la curvatura dei raggi di luce emessi dalle stelle in prossimità del disco solare eclissato, ovvero, di quanto la massa del Sole incurvasse lo spazio-tempo e quindi la traiettoria dei raggi stellari, restituendone posizioni differenti rispetto a quelle tabulate.

In questo articolo sono stati presentati i principi alla base della teoria einsteiniana della gravitazione.

Chiunque voglia studiare l'universo dovrebbe conoscere tali principi.

Chiunque voglia derivare nel dettaglio matematico gli aspetti cruciali dei corpi esotici astrofisici e della cosmologia dovrebbe comunque aver compreso questi aspetti fondamentali, senza i quali si ricorre in terribili paradossi.

Chiunque voglia semplicemente capire il genio di Einstein,  dovrebbe ritenersi fortunato a vivere in questa epoca. Ormai ben più di tre persone, per parafrasare Eddington, hanno compreso la relatività generale, e su questa basano nuove teorie, che in genere mirano a coniugare la teoria della relatività generale con la meccanica quantistica.